Sólidos Platónicos: sus relaciones y la presencia de Phi o el número aúreo

Agosto 2011

Me interesé por los sólidos platónicos para responder a una pregunta que me hice; una pregunta cuya respuesta no fui capaz de encontrar por Internet. ¿Qué relación hay entre un tetraedro regular y un octaedro regular?. Como herramientas para buscar la respuesta disponía de Internet, la herramienta de síntesis de imagen POV-Ray tracer y mi curiosidad intelectual. El camino me arrastró luego a los sólidos platónicos, y ese tramo deparó muchas sorpresas para mí; entre otra descubrí que, oculto entre ellos y sus relaciones, estaba phi, el número mágico de las matemáticas y la naturaleza, también conocido como el número aúreo o la proporción aúrea.

Si este texto se te hace aburrido, siempre puedes disfrutar de la belleza y la armonía de los sólidos platónicos viendo este vídeo, que hice como colofón para mi trabajo.

Todos las imágenes las he generado con POV y me tuve que desarrollar una serie de archivos con los diferentes sólidos platónicos, representados de diferentes maneras. Si sabes usar POV, puedes utilizar los archivos fuente para crear tus propias versiones. Están en esta página.

:: Tetraedro y octaedro

Supongo que muchos les parecerá que la respuesta a mi pregunta inicial es fácil y evidente, pero a mí me costó un largo tiempo encontrarla.

He aquí una figura de un tetraedro regular: cuatro caras que son triángulos equiláteros, séis lados o aristas de longitud L y cuatro vértices:

Tetraedro de lado L

Un octaedro regular es como una doble pirámide de base cuadrada. Está formado por 8 caras, que son triángulos isósceles, tiene 12 aristas o lados y 6 vértices.

Octaedro

Pues bien, si creamos un octaedro regular de lado L/2 (transparente azul), y lo giramos -57.74 grados alrededor del eje X, queda limpimanente inscrito dentrro del tetraedro de lado L, y lo divide en 4 tetraedros de lado L/2 (transparentes). Estos 4 tetraedros quedan limpiamente pegados a 4 de las caras del octaedro. Se obtiene así la primera relación entre ambos:

Octaedro inscrito en tetraedro

Obsérvese en la imagen como el antiguo tetraedro de lado L queda completamente relleno con los cuatro tetraedros y el octaedro todos de lado L/2.

Así que, en lo que respecta al volumen, al tener los cuatro nuevos tetraedros lados de longitud L/2, el volumen de cada uno de ellos es 1/8 (1/2*1/2*1/2) del volumen del tetraedro inicial de lado de longitud L. Como hay 4 de ellos en la imagen anterior, el volumen sumado de todos ellos es de V/2 (V/8+V/8+V/8+V/8). Es decir, si el volumen del tetraedro de lado era V, al incrustar el octaedro, el volumen de los 4 tetraedros pequeños es V/2, y por lo tanto, el octaedro tiene un volumen también de V/2.

Lo llamativo de este proceso, es que se puede repetir de nuevo en los cuatro tetraedros de lado L/2, dando como resultado 16 nuevos octaedros de lado L/4 y 5 octaedros, 1 de lado L/2 y 4 de lado L/4:

Octaedros en tetraedro

Ahora la suma de volúmenes ocupados por los nuevos octetraedros es V/4 (V/16+V/16+V/16+V/16) y el anterior octaedro ocupaba V/2. Así que sumando todo tenemos V*(1/2+1/4) = 3V/4.

Reptiendo el mismo proceso varias veces se obtiene:

Tetraedro relleno de octaedros

Visualmente se observa que los octaedros azules acaban ocupando todo el espacio del tetraedro original. Metamáticamente, el volumen ocupado por los tetraedros se corresponde a la serie:

V*(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +........... 1/2^n), una serie que cuando n tiende a infinito da como resultado 1. La suma de los volúmenes de los ocatedros es V.

Es decir que un tetraedro está compuesto por la suma de infinitos octaedros inscritos, siguiendo el método explicado. Esta es la segunda relación entre ellos.

Curiosamente, cualquier aficionado a los fractales habrá notado que hay una relación entre esta figura y el triángulo de Sierpinski. Me resulta curioso, o quizá desconcertante ver, que con geometría clásica (división de poliedros) y con métodos iterativos de geometría fractal, más propia del caos, se llegue al mismo sitio...¿Son dos maneras de describir la misma realidad?

Supongo que es algo trivial y conocido, pero a mí me ha costado esfuerzo llegar a esta conclusión y no fui capaz de encontrarlo en Internet. Es lo que tiene saber pocas matemáticas. Y ¡ojo!, que todavía quedan por encontrar otras relaciones que existen entre ambos.

:: Octaedro y hexaedro

Una vez resuelta la relación entre el tetraedro y el octaedro, me decidí a seguir con el resto de los sólidos platónicos. Empecé por el más sencillo: el cubo o hexaedro, y su relación con el octaedro.

Hexaedro inscrito en un octaedro

Como se puede ver en la figura, el hexaedro o cubo queda perfectamente inscrito en un octaedro cuando sus vértices se colocan en el punto medio del triángulo isósceles que forma cada cara del otaedro.

Si la longitud del lado o arista del octaedro es L, la longitud del lado del cubo es L*sqrt(2)/3 y ha sido rotado 45 grados alrededor del eje y.

:: Octaedro y dodecaedro

Por su parte, el dodecaedro está formado por 12 pentágonos iguales, 30 aristas o lados y 20 vértices (el mismo número de caras que tiene el icosaedro); también puede quedar inscrito en el octaedro, de manera que 8 de sus vértices se colocan en el punto medio del triángulo isósceles que forma cada cara del otaedro:

Dodecaedro inscrito en un octaedro

Si la longitud del lado o arista del octaedro es L, la longitud del lado del cubo es L*2*sin(pi/5)/(phi*5), y ha sido rotado -53 grados alrededor del eje x, luego 29 grados alrdedor del eje z, 24 grados alrededor del eje y.

Obsérvese que la curiosa relación entre las longitudes de los lados del octaedro y el dodecaedro inscrito incluye dos de los números más especiales de las matemáticas: pi y phi. Esta relación y los peculiares giros de rotación vienen dados por mi peculiar manera autodidacta de generar estas figuras.

:: Octaedro e icosaedro

El dodecaedro está formado por 20 triángulos isósceles iguales,30 aristas o lados y 12 vértices (igual que el número de caras del dodecaedro); también puede quedar inscrito en el octaedro. En este caso todos los vértices del icosaedro se incrustan en las aristas del octaedro, partiéndolas en dos segmentos. La relación entre las longitudes de ambos segmentos resultante es el número aúreo o phi.

Icosaedro inscrito en un octaedro

Si la longitud del lado o arista del icosaedro es L, la longitud del lado del icosaedro es 2*L*phi/6, y ha sido rotado, al igual que el dodecaedro, -53 grados alrededor del eje x, luego 29 grados alrdedor del eje z, 24 grados alrededor del eje y.

Obsérvese que persiste la curiosa relación entre las longitudes de los lados del octaedro y el icosaedro inscrito; en este caso aparece uno de los números más especiales de las matemáticas: phi.

:: Todos los sólidos platónicos: Tetraedro, octaedro, hexaedro, dodecaedro e icosaedro

Con lo que hemos avanzado, ya se pueden poner en relación todos los sólidos platónicos.

En el octaedro están inscritos hexaedro, dodecaedro e icosaedro. Poniendo todos juntos, se obtiene:

Octaedro

Octaedro y hexaedro

Octaedro, hexaedro y dodecaedro

Octaedro, hexaedro, dodecaedro e icosaedro

Como ya sabemos, el octaedro se puede inscribir en un tetraedro, así que toda la figura anterior, se puede inscribir dentro de él.

Tetraedro, octaedro, hexaedro, dodecaedro e icosaedro

Y obtenemos así, una relación completa de inscripción entre los 5 sólidos platónicos.

La proporción entre los lados de cada polígono, partiendo de L como longitud del lado del tetraedro exterior (como referenciamos al tetraedro de lado L y el octaedro anterior es de L/2, tenemos que dividir por 2 las fórmulas anteriores:

• Tetraedro - L
• Octaedro - L/2 = 0,5L
• Hexaedro - L*sqrt(2)/6 = 0,23570226L
• Dodecaedro -L*sin(pi/5)/(5*phi) = 0,145308506L
• Icosaedro - L*phi/6 = 0,269672331L

Aunque no resulta obvio, en esta imagen existe también una relación entre la longitud del lado del icosaedro y el del dodecaedro: phi.

:: Dodecaedro e icosaedro

En esta construcción se puede observar la relación entre el dodecaedro y el icosaedro, ya que el primero queda perfectamente inscrito en el segundo, quedando los vértices del dodecadro en el centro de los triángulos que forman el icosaedro.

Dodecaedro inscrito en icosaedro

Dodecaedro inscrito en icosaedro sólido

Pero lo realmente curioso es que si cambiamos la longitud del lado del dodecaedro, multiplicándola por phi, se invierte la relación, de manera que es el icosaedro el que queda inscrito en el dodecaedro.

Icosaedro inscrito en dodecaedro

Icosaedro inscrito en dodecaedro sólido

Esta vez son los vértices del icosaedro los que se encuentran en el centro exacto de los pentágonos que forman el dodecaedro.

Esto nos pemite contemplar una secuencia infinita de icosaedros inscritos en dodecaedros, que tienen inscritos icosaedros:

Dodecaedro e idosaedro inscrito, con dodecaedro inscrito...

Como se puede ver, ¡phi hace milagros en los sólidos platónicos!; y si Escher levantara la cabeza, seguro que sería capaz de sacar de aquí uno de sus dibujos imposibles de bucle infinito. Un reto para el futuro...

:: Hexaedro y tetraedro y... ¡de nuevo el octaedro!

Aún no hemos acabado, ya que resulta que dentro de un hexaedro (que estaba en el interior del conjunto de los sólidos platónicos de antes) se pueden inscribir no uno, sino dos tetraedros.

Tetraedro inscrito en hexaedro

Otro tetraedro inscrito en el mismo hexaedro

Los dos tetraedros inscritos en el mismo hexaedro

El lado del tetraedro tiene una longitud que viene derivada de multiplicar el lado del hexaedro por sqrt(2). Lo que nos da un valor de L/3, siendo L la longitud del lado del tetraedro, en el que está inscrito el octaedro, en el que está inscrito este hexaedro. Me resulta muy curioso que sea una proporción entera del valor del lado del tetraedro inicial.

Así que la secuencia de proporciones en longitudes de aristas o lados quedaría:

· Tetraedro - L
· Octaedro - L/2 = 0,5L
· Hexaedro - L*sqrt(2)/6 = 0,23570226L
· Dodecaedro -L*sin(pi/5)/(5*phi) = 0,145308506L
· Icosaedro - L*phi/6 = 0,269672331L
· Tetraedro - L*sqrt(2)*sqrt(2)/6 = 2/6L = L/3 = 0,3333333333L

A estas alturas ya sabemos que dentro de un tetraedro, cabe inscrito un octaedro, de lado la mitad que el el del octaedro, así que siguiendo el ciclo:

· Tetraedro - L
· Octaedro - L/2 = 0,5L
· Hexaedro - L*sqrt(2)/6 = 0,23570226L
· Dodecaedro -L*sin(pi/5)/(5*phi) = 0,145308506L
· Icosaedro - L*phi/6 = 0,269672331L
· Tetraedro - L*sqrt(2)*sqrt(2)/6 = 2/6L = L/3 = 0,3333333333L
· Octaedro - L/6 = 0,166666666L

Octaedro inscrito en uno de los dos tetraedros inscritos en el mismo hexaedro

Además, si observamos con detalle lo que ocurre con los dos tetraedros inscritos, lo que aparece es una tercera relación entre el tetraedro y el octaedro: el octaedro es la intersección de los dos tetraedros inscritos en un hexaedro o cubo.

Octaedro resultante de la intersección de los dos tetraedros inscritos en el mismo hexaedro

Y así podríamos seguir indefinidamente inscribiendo unos dentro de otros, reduciendo el lado de cada ploliedro siguiendo las proporciones de la lista. Por supuesto, este proceso se puede hacer tanto hacia pequeño como hacia mayor. Nos encontramos así ante un proceso infinito.

:: Octaedro y tetraedros

De lo anterior, si quitamos de en medio el hexaedro, y dejamos sólo los tetraedros, nos damos cuenta de que esos dos tetraedros cuya intersección es un octaedro quedan también inscritos por el octaedro exterior:

Octaedro y tetraedros inscritos

En esta otra imagen se ve con precisión como los vértices de los tetraedros engarzan con el punto central de las caras de los triángulos que forman el octedro:

Otaedro sólido y tetraedros inscritos

Esto nos pemite contemplar una secuencia infinita de tetraedros inscritos en octaedros, que tienen inscritos octaedros. Para ilustrarlo, pintaremos sólo uno de los tetraedros inscritos:

Octaedro y tetraedro inscrito, con octaedro inscrito...

En este caso, las longitudes de sus lados siguen la secuencia L, L/2, L/3, L/6, L/9, L/18, L/27......

Nos aparece así una cuarta relación entre el tetraedro y el octaedro, y otro reto para los aficionados a Escher.

:: El metatrón

Algunos han seleccionado un subconjunto de esta secuencia infinita, empezando por el hexaedro y bajando hacia los dos tetraedros, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.

Metatrón

A este conjunto se le atribuyen propiedades numéricas especiales y se le denomina el metatrón.

:: Conclusiones

Tras este viaje por los sólidos platónicos (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) descubrí lo siguiente:

Existen cuatro maneras de relacionar el tetraedro y el octaedro:

· Si dividimos un tetraedro de lado L en cuatro tetraedros interiores de lado L/2, el hueco que queda en el interior es un octaedro.

· Un tetraedro es la suma de infintos octaedros que salen de realizar recursivamente el método anterior en cada tetraedro de lado L/4 creado.

· El octaedro es la intersección de los dos tetraedros inscritos en un hexaedro o cubo.

· Se puede hacer una serie infinita de tetraedros que tienen octaedros inscritos; tetraedros que a su vez están inscritos en un octaedro, etc.

El número phi aparece con frecuencia en la relación entre los sólidos platónicos. En concreto en el dodecaedro y el icosaedro inscritos en un octaedro.

· Si la longitud del lado de un octaedro es L, la longitud del lado de su dodecaedro inscrito es L*2*sin(pi/5)/(phi*5) y la de su icosaedro inscrito es 2*L*phi/6. El dodecadro queda también inscrito en el icosaedro.

· Si multiplicamos por phi la longitud del lado del dodecaedro inscrito en un icosaedro, la relación de inscripción se invierte y es el icosaedro el que pasa a estar inscrito en el dodecadro.

· Los vértices del icosaedro inscritos en un octaedro dividen en dos segmentos las aristas del octaedro de manera que tienen phi como proporción entre la longitud de ambos segmentos.

Los sólidos platónicos constituyen una serie cíclica infinita de poliedros inscritos los unos en los otros Empezando por un hexaedro, el orden de inscripción de unos en otros es:

· Hexaedro o cubo
· Tetraedro/s
· Octaedro
· Hexaedro - icosaedro - dodecaedro
· Tetraedro/s
· Octaedro
· Hexaedro - icosaedro - dodecaedro
.....

Se puede hacer una serie infinita de inscripción también usando solo el icosaedro y el dodecaedro, y razón phi como razón de escala.

· Icosaedro - Li
· Dodecaedro - Ld
· Icosaedro -Li/phi
· Dodecaedro -Ld/phi
· Icosaedro -Li/phi/phi
....

En fin, hasta aquí he llegado por ahora... Veremos si hay más sorpresas escondidas, que se desvelan en el futuro.